图的无处零群不规则强度与无处零群和色数的线性界

我们研究图的群不规则强度 $s_g(G)$,即最小整数 $k$,使得取任意阶为 $k$ 的阿贝尔群 $\mathcal{G}$,存在函数 $f:E(G)\rightarrow \mathcal{G}$ 使得与每个顶点关联的边标签之和互异。迄今一般图 $G$ 的 $s_g(G)$ 最佳上界为关于 $n-c$ 的指数,其中 $n$ 为 $G$ 的阶、$c$ 为其连通分支数。在本注记中我们证明 $s_g(G)$ 关于 $n$ 是线性的,即不大于 $2n$。事实上我们证明了更强的结果,因为我们额外禁止群的恒等元作为边标签或顶点周围标签之和。我们也考虑局部不规则标号,仅要求相邻顶点之和互异。对相应的图不变量,我们证明了一般上界:$\Delta(G)+{\rm col}(G)-1$(其中 ${\rm col}(G)$ 为 $G$ 的着色数),在不用恒等元作边标签的情形;若额外禁止其作为顶点周围标签之和,则上界略差。两种情形我们都给出了树的紧上界以及平面图族的常数上界。