具有指定顶点集的次模型图的 Erdős–Pósa 性质

图 $H$ 在图 $G$ 中的次模型是指 $G$ 中可收缩为 $H$ 的子图。我们证明：对于正整数 $\ell$ 以及至少具有 $\ell-1$ 个连通分支的非空平面图 $H$，存在函数 $f_{H, \ell}:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ 满足如下性质：每个具有顶点子集族 $Z_1, \ldots, Z_m$ 的图 $G$ 要么包含 $k$ 个两两顶点不交的 $H$ 的次模型（每个与指定顶点集中至少 $\ell$ 个相交），要么包含一个大小不超过 $f_{H, \ell}(k)$ 且与所有此类 $H$ 的次模型相交的顶点子集。该函数 $f_{H, \ell}$ 与给定集合的个数 $m$ 无关，因此通过取 $\ell=2$ 且 $H$ 为单顶点图，我们的结果推广了 Mader 的 $\mathcal S$-路定理。我们证明当 $H$ 至多由 $\ell-2$ 个连通分支构成时，此类函数 $f_{H, \ell}$ 不存在。