被排除的森林 minor 与 Erd\H{o}s-P\'osa 性质

Robertson 和 Seymour 的一个经典结果表明，包含固定平面图 $H$ 作为 minor 的图集具有所谓的 Erd\H{o}s-P\'osa 性质；即存在一个仅依赖于 $H$ 的函数 $f$，使得对于任意图 $G$ 和任意正整数 $k$，图 $G$ 要么拥有 $k$ 个顶点不相交且每个都包含 $H$ 作为 minor 的子图，要么存在 $G$ 的一个顶点子集 $X$ 满足 $|X| \leq f(k)$，使得 $G - X$ 不含 $H$-minor。虽然目前已知的最佳函数 $f$ 关于 $k$ 是指数级的，但在 $H$ 为森林 (forest) 的特殊情况下，已知存在 $O(k \log k)$ 的界。这是 Bienstock、Robertson、Seymour 和 Thomas 关于排除森林 minor 的图的路径宽度 (pathwidth) 定理的一个推论。在本文中，我们证明了当 $H$ 为森林时，函数 $f$ 可以取为线性的。这是最优的，因为如果 $H$ 包含圈，则不可能存在线性界。