关于稀疏图上门格尔定理的诱导版本

设 $A$ 和 $B$ 为图 $G$ 中的顶点集。门格尔定理指出，对每个正整数 $k$，要么存在 $A$ 与 $B$ 之间的一组 $k$ 个顶点不交路径，要么可用至多 $k-1$ 个顶点将 $A$ 与 $B$ 分离。设 $\Delta$ 为 $G$ 的最大度。我们证明存在函数 $f(\Delta) = (\Delta+1)^{\Delta^2+1}$，使得对每个正整数 $k$，要么存在 $A$ 与 $B$ 之间的一组 $k$ 个顶点不交且两两反完全的(paths between $A$ and $B$ 译为：路径)，要么可用至多 $k \cdot f(\Delta)$ 个顶点将 $A$ 与 $B$ 分离。我们还证明该结果可从有界度图推广到排除拓扑次图的图。在负面方面，我们证明即便 $k = 2$，在退化度为 2 且围长任意大的图上也不存在此类关系。Hendrey、Norin、Steiner 和 Turcotte [arXiv:2309.07905] 独立且同时得到了类似结果。