关于图中度数分布的注记

图论中人们遇到的或许第一个基本练习是：任何至少有两个顶点的图必至少有两个度数相同的顶点。这一结果有多种非平凡推广方式。例如，可将此结果解释为：在任何至少有两个顶点的图 $G$ 中，存在一个至少含两个顶点的集合 $B$，使得 $B$ 中顶点在 $G$ 中的最大与最小度数之差为零。循此思路我们给出如下定义。对任意 $B\subset V(G)$，令 $B$ 的跨度 $sp(B)$ 定义为 $B$ 中顶点度数的最大值与最小值之差。对任意 $k\geq 0$，令 $sp(G,k)$ 为满足 $sp(B)\leq k$ 的顶点集合 $B$ 的最大基数。因此图论的第一个基本结果说：对任何至少有两个顶点的图 $G$，$sp(G,0)\geq 2$。本文首先给出 Erd\"os、Chen、Rousseau 和 Schelp 一个结果的证明，该结果将上述推广为：对任何至少 $k+2$ 个顶点的图，$sp(G,k)\geq k+2$。我们的证明简短且初等，未使用著名的关于顶点度数的 Erd\"os-Gallai 定理。随后我们基于 $G$ 的阶数及其最小、最大和平均度数给出 $sp(G,k)$ 的下界。然后利用这些结果给出树和极大外平面图下 $sp(G,k)$ 的下界，其中多数我们证明是紧的。