不含大团的一致图

我们给出关于一致图的一些存在性/不存在性命题,在 GCH 下它们给出大小为 lambda 且不含 K(kappa) 的一致图存在的充要条件,即:要么 kappa 有限,要么 cf(kappa)>cf(lambda)。(这里 K(kappa) 表示 kappa 个顶点上的完全图。)lambda^{< kappa}= lambda 这一特例最初由 F. Galvin 证明。接下来,我们研究如下问题:若不存在大小为 lambda 的一致 K(kappa)-自由图,则这些图中有多少个可以嵌入所有其他的图。已知若 lambda^{< lambda}= lambda(例如 lambda 正则且 GCH 在 lambda 下方成立),且 kappa = omega,则该数为 lambda^+。我们证明这对每个共尾数为可数的 kappa <= lambda 都成立。另一方面,即使对 kappa = omega_1 以及任意正则 lambda >= omega_1,也可以一致地使 GCH 在 lambda 下方成立、2^{lambda} 任意大,且上述数为 lambda^+ 或 2^{lambda},因此两种极端情况都实际可能发生。