论图的 $k$-划分维数

作为图的划分维数概念的推广，本文引入了 $k$-划分维数的概念。给定非平凡连通图 $G=(V,E)$，$V$ 的一个划分 $\Pi$ 称为 $G$ 的 $k$-划分生成元，如果任意一对不同顶点 $u,v\in V$ 能被 $\Pi$ 的至少 $k$ 个顶点集区分，即存在至少 $k$ 个顶点集 $S_1,\ldots,S_k\in\Pi$ 使得对每个 $i\in\{1,\ldots,k\}$ 都有 $d(u,S_i)\ne d(v,S_i)$。在所有 $k$-划分生成元中基数最小的 $G$ 的 $k$-划分生成元称为 $G$ 的 $k$-划分基，其基数称为 $G$ 的 $k$-划分维数。非平凡连通图 $G$ 是 $k$-划分维的，如果 $k$ 是使得 $G$ 具有 $k$-划分基的最大整数。我们给出了图是 $r$-划分维的充分必要条件，并获得了关于 $k\in\{1,\ldots,r\}$ 的 $k$-划分维数的若干结果。