关于图的强划分维数

我们提出了一种获取度量空间生成元的新方法，该生成元具有如下性质：空间中每个元素的“位置”可由其到生成元中各元素的距离唯一确定。具体而言，我们引入了一种基于将度量空间划分为若干元素集的生成元。划分中的这些集合作为新的元素，能够唯一确定空间中每个单独元素的位置。对于连通图 $G$ 的顶点集 $W$，若对于任意两个不同的顶点 $x,y\notin W$，满足 $d_G(x,W)=d_G(x,y)+d_G(y,W)$ 或 $d_G(y,W)=d_G(y,x)+d_G(x,W)$（其中 $d_G(x,W)=\min\left\{d(x,w)\;:\;w\in W\right\}$），则称 $W$ 强分辨 $x$ 和 $y$。图 $G$ 的有序顶点划分 $\Pi=\left\{U_1,U_2,...,U_k\right\}$ 若使得属于划分中同一集合的任意两个不同顶点都能被 $\Pi$ 中的某个集合强分辨，则称 $\Pi$ 为 $G$ 的强分辨划分。基数最小的强分辨划分称为强划分基，其基数称为强划分维数。本文引入了强分辨划分和强划分维数的概念，并着手研究其数学性质。我们给出了该参数的一些可实现性结果，并获得了若干类图的强度量维数的紧界和闭式公式。