冠积图的 $k$-度量维数

给定一个连通简单图 $G=(V,E)$ 和一个正整数 $k$，集合 $S\subseteq V$ 称为 $G$ 的 $k$-度量生成元，当且仅当对于任意一对不同的顶点 $u,v\in V$，存在至少 $k$ 个顶点 $w_1,w_2,...,w_k\in S$，使得对于每个 $i\in \{1,...,k\}$ 都有 $d_G(u,w_i)\ne d_G(v,w_i)$，其中 $d_G(x,y)$ 是 $x$ 和 $y$ 之间最短路径的长度。$G$ 中基数最小的 $k$-度量生成元称为 $k$-度量基，其基数称为 $G$ 的 $k$-度量维数。在本文中，我们研究了冠积图 $G\odot\mathcal{H}$ 的 $k$-度量维数，其中 $G$ 是阶为 $n$ 的图，$\mathcal{H}$ 是 $n$ 个非平凡图的族。具体而言，我们给出了连通冠积图中存在 $k$-度量基的一些充分必要条件。此外，我们得到了连通冠积图 $k$-度量维数的紧界和闭式公式。