图的局部平衡2-划分的复杂性结果

图$G$的一个2-划分是一个函数$f:V(G)\rightarrow \{0,1\}$。图$G$的一个2-划分$f$被称为具有开邻域的局部平衡，如果对于每个$v\in V(G)$，有$$\left\vert \vert \{u\in N_{G}(v)\colon\,f(u)=0\}\vert - \vert \{u\in N_{G}(v)\colon\,f(u)=1\}\vert \right\vert\leq 1.$$图$G$的一个2-划分$f^{\prime}$被称为具有闭邻域的局部平衡，如果对于每个$v\in V(G)$，有$$\left\vert \vert \{u\in N_{G}[v]\colon\,f^{\prime}(u)=0\}\vert - \vert \{u\in N_{G}[v]\colon\,f^{\prime}(u)=1\}\vert \right\vert\leq 1.$$本文证明了对于某些受限图类，具有开（闭）邻域的局部平衡2-划分的存在性问题是NP-完全的。特别地，我们证明了：判定给定图是否具有开邻域局部平衡2-划分的问题，对于双正则二部图乃至最大度为4的二部图是NP-完全的；判定给定图是否具有闭邻域局部平衡2-划分的问题，即使对于次立方二部图和最大度为3的奇图也是NP-完全的。最后的结果证明了Balikyan和Kamalian的一个猜想。