通过迭代投影恢复非均匀植入划分

在植入划分问题中，随机图的 $n$ 个顶点被划分为 $k$ 个“簇”，同一簇内和不同簇间顶点之间的边分别以常数概率 $p$ 和 $q$ 包含（其中 $0 \le q < p \le 1$）。我们给出了一个高效谱算法，在任意两个簇的大小要么非常接近要么相差 $\geq \Omega(\sqrt n)$ 的条件下，以高概率恢复这些簇。我们还讨论了植入划分的一种推广，其中算法的输入不是随机图，而是具有独立对角线上方条目的随机实对称矩阵。我们的算法是针对均匀情况（即所有簇大小为 $n / k \geq \Omega(\sqrt n)$）的先前算法的改编。原算法通过迭代投影逐个恢复簇：它构造随机图邻接矩阵的主导 $k$ 维特征空间上的正交投影算子，用它恢复其中一个簇，然后删除该簇并在剩余顶点上递归。我们在本文中证明类似算法在非均匀情况下也有效。