半随机图中植入二部图的精确恢复算法

在给定的图中寻找最大的诱导平衡二部子图问题是 NP-hard 的。该问题与寻找最小奇圈横截（Odd Cycle Transversal）问题密切相关。在本文中，我们考虑如下实例模型：从顶点集 $V$ 开始，选取 $k$ 个顶点的子集 $S \subseteq V$，并在其上添加一个任意的 $d$-正则二部图；对于 $S \times (V \setminus S)$ 和 $(V \setminus S) \times (V \setminus S)$ 中的顶点对，以概率 $p$ 添加边。由于当 $d=0$ 时，该问题退化为恢复植入独立集，我们不期望在 $k=o(\sqrt{n})$ 时存在高效算法。该问题是植入平衡双团（planted balanced biclique）问题的推广，其中 $S$ 上诱导的二部图是完全二部图；[Lev18] 给出了当 $k=\Omega(\sqrt{n})$ 时恢复 $S$ 的算法。我们的主要结果是一个高效算法，在较大参数范围内当 $k=\Omega_p(\sqrt{n \log n})$ 时（以高概率）恢复植入的二部图。我们的结果也适用于一类自然的半随机实例模型，其中存在单调对手（monotone adversary）。我们的证明通过构造该问题的自然 SDP 松弛的对偶形式的适当解，表明该松弛是整数的。我们的主要技术贡献是一种构造对偶解的新方法，其中我们将邻接矩阵的特征向量标定为对偶矩阵的特征向量。我们认为该方法也可应用于半随机模型中的其他恢复问题。当 $k=\Omega(\sqrt{n})$ 时，我们给出了一个恢复 $S$ 的算法，其运行时间在 $S$ 上诱导图的较小特征值个数上是指数的；该算法基于 [KT07,ABS10,Kol11] 工作中的子空间枚举技术。