一种用于恢复植入划分的简单谱算法

在本文中，我们考虑植入划分模型，其中随机图的 $n = ks$ 个顶点被划分为 $k$ 个“簇”，每个大小为 $s$。同一簇内和不同簇间顶点之间的边分别以恒定概率 $p$ 和 $q$ 包含（其中 $0 \le q < p \le 1$）。我们给出了一种高效算法，只要簇大小至少为 $\Omega(\sqrt{n})$，就能以高概率恢复这些簇。通俗地说，我们的算法构造了图的邻接矩阵的主 $k$ 维特征空间上的投影算子，并利用它每次恢复一个簇。据我们所知，我们的算法是首个纯谱算法，它在多项式时间内运行，并且即使当 $s = \Theta(\sqrt n)$ 时也有效，尽管已有若干非谱算法实现了这一点。我们的算法也是这些谱算法中最简单的之一，其正确性证明说明了柯西积分公式在该领域的用处。