植入团簇恢复的 space complexity 是否与检测相同？

我们研究植入团簇问题，其中大小为k的团簇被植入Erdős-Rényi图G(n, 1/2)中，人们感兴趣的是检测或恢复该植入团簇。该问题令人关注，因为人们广泛认为它在团簇大小k=sqrt{n}处表现出统计-计算鸿沟，并已成为具有此类鸿沟的典型问题，由此可推导其他统计问题的平均情形困难性。与类似性质的其他问题不同，它还展示了检测与恢复变体之间的紧密计算关联。然而，对植入团簇问题计算复杂性的广泛研究大多集中于其时间复杂性。在本文中，我们提问：使植入团簇成为有趣问题的统计-计算现象，在我们将“空间效率”作为计算效率概念时是否仍然成立？相对容易表明，该问题的肯定回答依赖于存在一个 O(log n) 空间算法，能够恢复大小为 k = Omega(sqrt{n}) 的植入团簇。我们的主要结果非常接近设计这样的算法。我们证明，对于k=Omega(sqrt{n})，恢复问题可在 O((log*{n}-log*{k/sqrt{n}}) log n) 比特空间内求解。1. 若 k = omega(sqrt{n}log^{(l)}n) 对任意常数整数 l > 0，空间使用为 O(log n) 比特。2. 若 k = Theta(sqrt{n})，空间使用为 O(log*{n} log n) 比特。我们的结果表明，确实存在 O(log n) 空间算法可恢复大小为 k = Omega(sqrt{n}) 的团簇，因为我们非常接近实现此类参数。这提供了证据，表明（据推测）对植入团簇时间复杂性成立的统计-计算现象也（据推测）对空间复杂性成立。