一维潜空间模型中的近完美恢复

假设图 $G$ 是通过在线段上均匀采样顶点，并以已知的随距离递减的函数为概率连接每对顶点随机生成的。我们问是否可能仅通过观测生成的未标记图来重建 $G$ 中顶点的实际位置。我们针对两种自然的边概率函数研究该问题——一种边概率随距离指数衰减，另一种仅随距离线性衰减。我们以恢复顶点在线段上出现的顺序这一较弱目标开始研究。对于长度为 $n$ 的线段和精度参数 $\delta$，我们证明对于指数和线性衰减边概率函数，均存在高效算法能正确恢复（至多反射对称）所有相距至少 $\delta$ 的顶点的顺序，仅使用 $\tilde{O}(\frac{n}{\delta ^ 2})$ 个样本（顶点）。基于该结果，我们进而证明 $O(\frac{n^2 \log n}{\delta ^2})$ 个顶点（样本）足以额外将每个顶点在线上的位置恢复到 $\delta$ 精度内。我们以重建位置（即使计算无界算法）所需样本的 $\Omega (\frac{n^{1.5}}{\delta})$ 下界补充该结果，表明恢复位置的任务在信息论上难于恢复顺序。我们给出了实验结果表明，我们的算法以高精度恢复了几乎所有点的位置。