从特征子空间重建无向图

在本文中，我们旨在从其邻接矩阵 $W$ 的特征子空间的扰动版本的知识中恢复一个具有 $N$ 个顶点的无向加权图。例如，这种情形出现在图上的平稳信号或在随机时刻观测的马尔可夫链中。我们的方法基于最小化由对称矩阵 $\mathsf{A}$ 与 $\mathsf{B}$ 之间的交换子 $\mathsf{A} \mathsf{B}-\mathsf{B} \mathsf{A}$ 的 Frobenius 范数给出的代价函数。在无自环的 Erdős-Rényi 模型中，我们证明了可识别性（即从其特征子空间知识重建 $W$ 的能力）在期望边数上遵循以阈值函数 $N\log N/2$ 为界的尖锐相变。给定基于 $n$ 样本的特征子空间估计，我们从理论和实际角度给出了支撑选择过程。特别地，当从活动支撑中删除一条边时，我们的研究揭示，当我们高估真实支撑时，检验统计量的阶为 $\mathcal O(1/n)$；而当估计支撑小于真实支撑时，其下界为一个正常数。这一特性带来了一种强有力的实用支撑估计过程。模拟与真实生活的数值实验证实了我们的新方法。