加权非齐次随机图的非回退谱

我们研究一类随机图模型，其中每条边独立地（但不必同分布）从其他边中抽取，然后被赋予一个随机权重。当此类图的平均度较低时，已知邻接矩阵 $A$ 的谱显著偏离其期望值 $\mathbb E A$。相反，我们证明在广泛的参数范围内，非回退矩阵 $B$（一个其幂次计数两条边之间非回退行走的矩阵）的顶端特征值接近于 $\mathbb E A$ 的特征值，且所有其他特征值被限制在一个具有已知半径的块中。我们还获得了 $B$ 的特征向量与其由模型参数导出的确定性对应物之间内积的精确刻画。该结果在从（含噪）矩阵补全到社区检测以及矩阵扰动理论等众多领域中有许多应用。特别地，我们作为一个推论确立：称为 Baik-Ben Arous-P\'ech\'e 相变的一个结果——此前仅对旋转不变随机矩阵建立——在温和集中假设下对如上矩阵 $A$ 更一般地成立。