非自适应学习 Erdős--Rényi 图的快速二进制分割方法

我们研究了通过节点子集上的组查询来学习未知图的问题，每个查询报告在查询的节点子集中是否存在至少一条边。在一般情况下，使用非自适应方式学习具有 $n$ 个节点和 $k$ 条边的任意图很困难，即使允许小错误概率，也需要 $\Omega\big(\min\{k^2\log n,\,n^2\}\big)$ 个测试。我们聚焦于在非自适应设置下学习 Erdős--Rényi (ER) 图 $G\sim\mathrm{ER}(n,q)$，其中预期边数为 $\bar{k}=q\binom{n}{2}$，旨在设计一种高效的测试-解码方案实现 asymptotically vanishing 误差概率。先前工作 (Li--Fresacher--Scarlett, NeurIPS 2019) 提出的测试-解码方案达到了数量最优的测试次数 $O(\bar{k}\log n)$，但解码时间为 $\Omega(n^2)$，而其提出的亚线性时间算法在测试次数上额外增加 $(\log \bar{k})(\log n)$ 因子。我们将最近发展用于非自适应组测试的二进制分割方法扩展到 ER 图学习设置，证明了在任意固定的 $\delta>0$ 下，edge 集合可在高概率下使用 $O(\bar{k}\log n)$ 次测试实现恢复，同时解码时间为 $O(\bar{k}^{1+\delta}\log n)$。