基于二部独立集查询的非自适应边计数与采样

我们研究通过 Beame 等人（ITCS '18）引入的二部独立集查询模型访问的 $n$ 顶点图中边的数量估计问题。在该模型中，每次查询返回一个布尔值，指示两个指定节点集之间是否存在至少一条边。我们提出了一种非自适应算法，该算法返回边数的 $(1\pm \epsilon)$ 相对误差近似，查询复杂度为 $\tilde O(\epsilon^{-5}\log^{5} n )$，其中 $\tilde O(\cdot)$ 隐藏了 $\textrm{poly}(\log \log n)$ 依赖项。这是该设置下首个实现 $\textrm{poly}(1/\epsilon,\log n)$ 查询复杂度的非自适应算法。先前的工作需要 $\Omega(\log^2 n)$ 轮自适应。我们通过采用一种受单遍流算法启发的根本不同的方法来避免这一点。此外，对于常数 $\epsilon$，我们的查询复杂度显著优于 Bhattacharya 等人（STACS '22）提出的最佳已知自适应算法，该算法需要 $O(\epsilon^{-2} \log^{11} n)$ 次查询。基于我们的边估计结果，我们给出了首个用于输出近似均匀采样边的非自适应算法，查询复杂度为 $\tilde O(\epsilon^{-6} \log^{6} n)$，改进了 Dell 等人（SODA '20）和 Bhattacharya 等人（STACS '22）的工作，这些工作需要 $\Omega(\log^3 n)$ 轮自适应。最后，作为我们边采样算法的一个推论，我们获得了一个用于连通性的 $\tilde O(n\log^ 8 n)$ 查询算法，使用两轮自适应。这改进了 Assadi 等人（ESA '21）的三轮算法，并且是紧的；不存在用于连通性的非自适应算法能进行 $o(n^2)$ 次查询。