使用随机边和结构查询快速估计图的平均度

我们重新审视设计用于估计$n$顶点图平均度的亚线性算法的问题。标准图访问模型允许进行以下查询：抽取均匀随机顶点、获取顶点度、抽取均匀随机邻居，以及"对查询"用于确定顶点对是否相连。在此模型中，原始结果[Goldreich-Ron, RSA 2008; Eden-Ron-Seshadhri, SIDMA 2019]表明获取对平均度$(1+\varepsilon)$乘性近似值的复杂度（忽略$\varepsilon$依赖项）为$\Theta(\sqrt{n})$。当可抽取随机边时，已知平均度可在$\widetilde{O}(n^{1/3})$查询内估计，即使没有对查询[ Motwani-Panigrahy-Xu, ICALP 2007; Beretta-Tetek, TALG 2024]。我们给出一个在标准访问模型中近乎最优的算法，利用对查询，使查询数为$\widetilde{O}(n^{1/4})$。我们也分析"完全邻域访问"模型，即可通过单个查询获取顶点的整个邻接表；该模型在许多实际应用中相关。在弱版本中，我们给出一个查询数为$\widetilde{O}(n^{1/5})$的算法。上述结果凸显了结构查询（如对查询和完全邻域访问查询）在估计平均度方面的强大作用。我们给出与我们结果相匹配的近似下界，忽略$\varepsilon$依赖项。到目前为止，几乎所有估计平均度的算法都假设已知顶点数$n$。灵感来自[Beretta-Tetek, TALG 2024]，我们研究$n$未知时的该问题，表明在此设置下，结构查询对估计平均度帮助不大。