图与度量空间中通过加权采样的平均距离查询：高可扩展性与严格统计保证

图中一个节点到所有其他节点的平均距离，或度量空间中一个查询点到一组点的平均距离，是数据分析中的基本量。平均距离的倒数，即节点的（经典）紧密中心性（closeness centrality），是社会网络研究中的一种常用重要性度量。我们基于加权采样对距离关系的可稀疏性提出了新颖的结构性见解。基于此，我们提出了具有强统计保证的实用算法来解决基本问题。我们证明，图中所有节点的平均距离（以及其中心性）可以使用 $O(\epsilon^{-2})$ 次单源距离计算来估计。对于度量空间中的 $n$ 个点构成的集合 $V$，我们证明在经过使用 $O(n)$ 次距离计算的前处理后，我们可以计算大小为 $O(\epsilon^{-2})$ 的加权样本 $S\subset V$，使得从任意查询点 $v$ 到 $V$ 的平均距离可以通过 $v$ 到 $S$ 的距离来估计。最后，我们证明对于度量空间中的点集 $V$，我们可以使用 $O(n+\epsilon^{-2})$ 次距离计算来估计平均成对距离。该估计基于 $O(\epsilon^{-2})$ 对点的加权样本，该样本使用 $O(n)$ 次距离计算求得。我们的估计是无偏的，归一化均方误差（NRMSE）至多为 $\epsilon$。将样本量增大 $O(\log n)$ 倍可确保相对误差超过 $\epsilon$ 的概率呈多项式级小。