常数度图上距离与中心性问题的紧致硬度结果

在图中寻找重要节点并衡量其重要性，是社交网络、交通网络、生物系统等分析中的一个基本问题。此类流行的度量指标包括图中心性、介数中心性（BC）和可达性中心性（RC）。这些度量也与直径和半径等经典概念密切相关。Roditty 和 Vassilevska Williams [STOC'13] 证明了，除非广泛相信的强指数时间假设（SETH）为假，否则不存在能在稀疏无权图中快于 $n^{2-o(1)}$ 时间计算直径的 $(3/2-\delta)$-近似算法。Abboud 等人 [SODA'15] 和 [SODA'16] 在近期关于 P 类问题硬度的研究路线下进一步分析了这些问题。他们证明了，在稀疏无权图（BC 为加权图）中，除非某些流行猜想为假，否则这些问题均无法快于 $n^{2-o(1)}$ 求解。此外，他们排除了对于任意 $\delta > 0$，RC 的 $(2-\delta)$-近似、半径的 $(3/2-\delta)$-近似以及计算图的所有离心率的 $(5/3-\delta)$-近似。我们将这些结果推广至具有常数最大度数的无权图情形。通过新的图构造，即使在无权有界度图中，我们也能获得与稀疏图相同的近似与时间界限。我们证明了，对于此类图和任意 $\delta > 0$，不存在时间复杂度为 $n^{2-o(1)}$ 的半径或直径的 $(3/2-\delta)$-近似、RC 的 $(2-\delta)$-近似、所有离心率的 $(5/3-\delta)$-近似或 BC 的精确算法。这通过展示无权图的硬度结果，加强了 Abboud 等人 [SODA'16] 关于 BC 的结果，并沿袭了 Abboud 等人 [SODA'16] 以及 Abboud 和 Dahlgaard [FOCS'16] 的思路，为受限但现实的图类展示了条件性下界。