有向图直径近似的紧条件下界

最基础的图参数之一是直径，即任意一对顶点间的最大距离。在强指数时间假设(SETH)下，计算具有$m$条边的图的直径需要$m^{2-o(1)}$时间，这对于超大规模图可能难以承受，因此亟需高效的直径近似算法。存在一种 folklore 算法可在$\tilde{O}(m)$时间内给出直径的$2$-近似。此外，一系列工作最终给出了在加权有向图上以$\tilde{O}(m^{3/2})$时间运行、对直径作$3/2$-近似的算法。该$3/2$-近似算法在SETH下已知为紧的：Roditty与Vassilevska W.证明了在SETH下，无向无权图直径的任何$3/2-\epsilon$近似算法均需$m^{2-o(1)}$时间，随后Backurs、Roditty、Segal、Vassilevska W.、Wein以及Li的后续工作证明了在SETH下，无向无权图直径的任何$5/3-\epsilon$近似算法均需$m^{3/2-o(1)}$时间。然而，folkore的2-近似算法是否紧尚属未知，并在众多论文中被明确列为开放问题。针对该问题，Bonnet近期证明了在SETH下，任意$7/4-\epsilon$近似仅需$m^{4/3-o(1)}$时间，但仅针对有向加权图。我们通过证明folkore的2-近似算法有条件最优，彻底解决了有向图上的这一问题。在此过程中，我们获得了一系列条件下界，结合先前工作，给出了与有向图所有已知算法均紧的时间-精度权衡。具体而言，我们证明了在SETH下，对任意$\delta>0$，有向无权图直径的一个$(\frac{2k-1}{k}-\delta)$-近似算法需要$m^{\frac{k}{k-1}-o(1)}$时间。