厘清 SETH 与近似稀疏有向无权图直径之争（直至 (NU)NSETH）

我们证明了关于图直径近似的细粒度复杂性的若干紧结果。首先，我们证明对于任意 $\varepsilon>0$，假设强指数时间假设（SETH），对于稀疏有向图的直径，即便在无权重图中，也不存在近线性时间的 $2-\varepsilon$-近似算法。该结果表明，一个简单的近线性时间 2-近似直径算法在 SETH 下是最优的，回答了 Rubinstein 与 Vassilevska-Williams 的综述（SIGACT '19）中关于有向图情形的一个问题。在同一综述中，Rubinstein 与 Vassilevska-Williams 还问到，是否可能证明在 $O(n^{1.499})$ 时间内不存在有向图直径的 $2-\varepsilon$ 近似算法。我们展示，假设一个名为 NSETH 的假设，无法使用基于确定性 SETH 的归约来排除此类算法的存在。扩展这两结果的技巧，我们刻画了对于稀疏有向无权图直径，在假设 NSETH 下，对于每个 $\delta\in(0,1)$ 与本质上每个 $\varepsilon\in(0,1)$，是否能通过基于确定性 SETH 的归约排除运行时间为 $O(n^{1+\delta})$ 的 $2-\varepsilon$ 近似算法。这厘清了在确定性归约下稀疏有向无权图直径近似的 SETH-困难性，直至 NSETH。我们对基于随机化 SETH 的归约给出了相同刻画，假设另一名为 NUNSETH 的假设。我们证明了针对无向图的额外困难性与不可归约性结果。