近似最稠密$k$-子图问题的几乎多项式比ETH困难性

在Densest $k$-Subgraph（最稠密$k$-子图）问题中，给定无向图$G$和整数$k$，目标是找到$G$的一个含$k$个顶点的子图，使其包含最大数量的边。尽管该问题的最先进算法仅达到$O(n^{1/4 + \varepsilon})$近似比（Bhaskara等人，2010），先前证明近似困难性的尝试（包括那些基于平均情况假设的）未能达到多项式比；在任意最坏情况假设和任意平均情况假设下所排除的最佳比分别仅为任意常数（Raghavendra和Steurer，2010）和$2^{\Omega(\log^{2/3} n)}$（Alon等人，2011）。本工作中，我们假设指数时间假设(ETH)，证明不存在多项式时间算法能在最优解的$n^{1/(\log \log n)^c}$因子内近似最稠密$k$-子图，其中$c > 0$为独立于$n$的通用常数。此外，我们的结果具有“完美完备性”，即我们证明即使在多项式时间内区分$G$包含$k$-团与$G$的每个诱导$k$-子图密度至多为$1/n^{-1/(\log \log n)^c}$的情况也是ETH困难的。而且，若我们做更强假设：存在某常数$\varepsilon > 0$使得无亚指数时间算法能区分可满足的3SAT公式与仅$(1 - \varepsilon)$-可满足的公式（亦称Gap-ETH），则上述比可改进为对任意函数$f$的$n^{f(n)}$，其中当$n$趋于无穷时$f$的极限为零（即$f \in o(1)$）。