ETH假设下k-Clique近似难度的改进

在本文中，我们证明在指数时间假设（ETH）下，不存在 $f(k)\cdot n^{k^{o(1/\log\log k)}}$ 时间的算法能够判定一个 $n$ 顶点图是否包含大小为 $k$ 的团或不含大小为 $k/2$ 的团，且不存在FPT算法能够判定输入图是否有大小为 $k$ 的团或没有大小为 $k/f(k)$ 的团，其中 $f(k)$ 是 $k^{1-o(1)}$ 中的某个函数。我们的结果显著改进了先前的工作[Lin21, LRSW22]。我们证明的核心是为 $k$-Clique问题构造产生间隙的归约的框架。更精确地，我们证明给定一个在并行设定下局部可测试且平滑局部可解码的纠错码 $C:\Sigma_1^k\to\Sigma_2^{k'}$，可以构造一个归约，在输入图 $G$ 时在 $(k')^{O(1)}\cdot n^{O(\log|\Sigma_2|/\log|\Sigma_1|)}$ 时间内输出图 $G'$，使得：● 若 $G$ 有大小为 $k$ 的团，则 $G'$ 有大小为 $K$ 的团，其中 $K = (k')^{O(1)}$。● 若 $G$ 没有大小为 $k$ 的团，则对某些常数 $\varepsilon\in(0,1)$，$G'$ 没有大小为 $(1-\varepsilon)\cdot K$ 的团。我们随后构造了这样的码，其 $k'=k^{\Theta(\log\log k)}$ 且 $|\Sigma_2|=|\Sigma_1|^{k^{0.54}}$，从而确立了上述硬度结果。我们的码将导数码[WY07]推广到导数阶为超常数的情形。