从 Gap-ETH 到 FPT-不可近似性：团、支配集及其他

我们考虑多项式时间近似算法、次指数时间算法和固定参数可解算法领域交叉产生的问题。这些问题已被多次提出（例如 [Marx08, FGMS12, DF13]），即对于以最优解大小为参数的最大团（Clique）和最小支配集（DomSet）问题，是否存在非平凡的 FPT-近似算法。具体而言，令 $\text{OPT}$ 为最优值，$N$ 为输入规模，是否存在一个运行时间为 $t(\text{OPT})\text{poly}(N)$ 并输出大小为 $f(\text{OPT})$ 的解的算法，其中 $t$ 和 $f$ 是任意与 $N$ 无关的函数（对于 Clique，我们希望 $f(\text{OPT})=\omega(1)$）？在本文中，我们证明 Clique 和 DomSet 都不存在非平凡的 FPT-近似算法，即对于 Clique 不存在 $o(\text{OPT})$-FPT-近似算法，对于 DomSet 不存在 $f(\text{OPT})$-FPT-近似算法，对任意函数 $f$ 均如此（例如，即使 $f$ 是阿克曼函数也成立）。事实上，我们的结果蕴含了更强的结论：解决 Clique 和 DomSet 的最佳方式，即便是近似求解，本质上也是枚举所有可能性。我们的结果在 Gap 指数时间假设（Gap-ETH）[Dinur16, MR16] 下成立，该假设断言不存在 $2^{o(n)}$ 时间的算法能够区分一个可满足的 3SAT 公式与一个对于某个常数 $\epsilon > 0$ 甚至不是 $(1 - \epsilon)$-可满足的公式。除了 Clique 和 DomSet，我们还排除了最大平衡二分团、具有遗传性质的最大子图以及二部图中最大诱导匹配的非平凡 FPT-近似。此外，我们排除了最密 $k$-子图的 $k^{o(1)}$-FPT-近似算法，尽管该比率尚未达到平凡的 $O(k)$-近似算法。