圆盘与单位球图上最大团的有效多项式时间近似方案及次指数算法

（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。近三十年前，针对单位圆盘图上的最大团（Maximum Clique）问题找到了一种优雅的多项式时间算法 [Clark, Colbourn, Johnson; Discrete Mathematics '90]。此后，可处理性能否推广到一般圆盘图一直是一个引人入胜的开放问题。我们证明了两个奇圈的 disjoint union 既不是圆盘图也不是单位（三维）球图的补图。基于该事实及已有结果，我们推导出一种简单的 QPTAS 以及运行时间为 $2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$ 的次指数算法，用于圆盘与单位球图上的最大团问题。随后，我们获得了一种随机 EPTAS，用于计算满足以下条件的图上的独立数：无两个奇圈作为诱导子图的 disjoint union、具有有界 VC-维、且独立数为线性。结合我们的结构结果，这给出了圆盘与单位球图上最大团问题的随机 EPTAS。单位球图上的最大团等价于：给定 $\mathbb R^3$ 中的点集，寻找直径不超过某固定值的最大点子集。形成鲜明对比的是，球图与单位四维球图上的最大团，以及填充椭圆（即便接近单位圆盘）或填充三角形的交图，不大可能拥有此类算法。事实上，我们证明了对于所有这些问题，存在某个常数近似比，即便在 $2^{n^{1-\varepsilon}}$ 时间内也无法达到，除非指数时间假设（Exponential Time Hypothesis）不成立。