二维性与几何图

本文利用二维性中的若干关键思想，为那些并非次闭而是呈现几何结构的图类上的问题，提供了一种设计 EPTAS 和次指数时间参数化算法的新的通用方法。特别地，我们为地图图和单位圆盘图上的反馈顶点集、顶点覆盖、连通顶点覆盖、菱形命中集，以及单位圆盘图上的圈打包和最小顶点反馈边集，给出了 EPTAS 和次指数时间参数化算法。我们的结果基于 Fomin 等人 [SODA 2011] 最近证明的分解定理，并且我们的算法直接作用于输入图，因此无需计算输入图的几何表示。据我们所知，除 Marx [ESA 2005] 和 Alber 与 Fiala [J. Algorithms 2004] 分别在单位圆盘图上为顶点覆盖得到的 EPTAS 和次指数时间参数化算法外，这些结果此前均未知。我们进一步证明，我们的方法无法完全推广到更一般的几何图类，例如 R^d (d ≥ 3) 中单位球的相交图。具体而言，我们证明了 R^3 中单位球图上的反馈顶点集既不存在 PTAS（除非 P=NP），也不存在次指数时间算法（除非指数时间假设不成立）。此外，我们表明我们的方法所基于的分解定理对圆盘图不成立，因此将我们的任何结果扩展到圆盘图都需要新的算法思想。另一方面，我们证明了我们为顶点覆盖和连通顶点覆盖设计的 EPTAS 和次指数时间算法，对于每个固定的 d，都可以推广到圆盘图和 R^d 中的单位球图。