球图支配集与单位球图加权支配集的下界

最近的研究表明，许多经典的图问题——Independent Set、Dominating Set、Hamiltonian Cycle 等——可以在单位球图上以亚指数时间求解。更准确地说，这些问题在 $\mathbb R^d$ 中的单位球图上可以在 $2^{O(n^{1-1/d})}$ 时间内求解，并且在 ETH 下是紧致的。该结果可以推广到尺寸相近的胖物体的相交图。对于 Independent Set，对于尺寸不相近的胖物体以及该问题的加权版本，可以实现相同的运行时间。我们表明，这种推广对于 Dominating Set 很可能是不可能的：在假设 ETH 的情况下，我们证明：- 在 $\mathbb R^3$ 中的（非单位）球图上，不存在运行时间为 $2^{o(n)}$ 的 Dominating Set 算法；- 在 $\mathbb R^3$ 中的单位球图上，不存在运行时间为 $2^{o(n)}$ 的 Weighted Dominating Set 算法；- 在平面上任意凸（但非恒定复杂度）物体的相交图上，不存在运行时间为 $2^{o(n)}$ 的 Dominating Set、Connected Dominating Set 或 Steiner Tree 算法。