无 bull 图中加权独立集问题的改进 FPT 算法

最近，Thomass\'e、Trotignon 和 Vuskovic [WG 2014] 给出了一种针对以解的权重为参数的无 bull 图中加权独立集问题的 FPT 算法，运行时间为 $2^{O(k^5)} \cdot n^9$。在本文中，我们将该运行时间改进为 $2^{O(k^2)} \cdot n^7$。作为副产品，我们还将该问题之前的 Turing-kernel 从 $O(k^5)$ 改进为 $O(k^2)$。此外，对于不含长度至多 $2p-1$ 的洞（其中 $p \geq 3$）的无 bull 图子类，我们将运行时间加速至 $2^{O(k \cdot k^{\frac{1}{p-1}})} \cdot n^7$。随着 $p$ 的增长，该运行时间在 $k$ 方面是渐近紧的，因为我们证明了对于每个整数 $p \geq 3$，除非 ETH 不成立，否则在 $\{bull,C_4,\ldots,C_{2p-1}\}$-free 图类中，加权独立集问题无法在 $2^{o(k)} \cdot n^{O(1)}$ 时间内求解。