通过收缩诱导路径空间在 $P_t$-自由图中求解独立集的拟多项式时间算法

在最近的一项突破性工作中，Gartland 和 Lokshtanov [FOCS 2020] 给出了 $P_t$-自由图(即排除一条固定路径作为诱导子图的图)中最大权独立集的拟多项式时间算法。他们的算法运行时间为 $n^{\mathcal{O}(\log^3 n)}$，其中 $t$ 假定为常数。受他们想法的启发，我们提出了一种据称更简单的算法，其运行时间上界改进为 $n^{\mathcal{O}(\log^2 n)}$。我们的主要见解是，一个连通的 $P_t$-自由图总是包含一个顶点 $w$，其邻域对于常数比例的配对 $\{u,v\} \in \binom{V(G)}{2}$，与常数比例的诱导 $u-v$ 路径相交。由于 $P_t$-自由图总共包含 $\mathcal{O}(n^{t-1})$ 条诱导路径，在此类顶点上分支并独立地在连通分量上递归可得到拟多项式运行时间上界。我们还表明，同样的方法可用于获得相关问题的拟多项式时间算法，包括最大权诱导匹配和 3-着色。