排除诱导子式时的最大独立集：$K_1 + tK_2$ 与 $tC_3 \uplus C_4$

Dallard、Milanič 和 Štorgel [arXiv '22] 提出，对于每一个排除固定平面图 $H$ 作为诱导子式的图类，最大独立集是否可在多项式时间内求解，并证明了当 $H$ 为任意平面完全二部图、删去一条边的 5 顶点团或删去两条不相交边的 5 顶点团时确实如此。若回答肯定，将构成当前最优结果的深远推广，而目前我们甚至不知道当 $H$ 为 7 顶点路时是否存在多项式时间算法。将可处理性放宽至存在拟多项式时间算法，我们所知则丰富得多。事实上，近期已针对 $t$ 顶点圈 $C_t$ [Gartland 等, STOC '21] 和 $t$ 个三角形的不相交并 $tC_3$ [Bonamy 等, SODA '23] 获得了拟多项式时间算法。对每一整数 $t$，当 $H$ 为友谊图 $K_1 + tK_2$（$t$ 条不相交边外加一个与它们全相邻的顶点）时，我们给出运行时间为 $n^{O(t^5)}$ 的多项式时间算法；当 $H$ 为 $tC_3 \uplus C_4$（$t$ 个三角形与 4 顶点圈的不相交并）时，给出运行时间为 $n^{O(t^2 \log n)+f(t)}$ 的拟多项式时间算法，其中 $f$ 为单指数函数。前者推广了关于排除 $tK_2$ 作为诱导子图的图的经典结果 [Alekseev, DAM '07]，后者则推广了 Bonamy 等的结果。