P_k-自由图上拟多项式时间的最大权独立集算法

我们提出一种算法，输入为顶点带权图 $G$，并计算 $G$ 的最大权独立集 $S$。若输入图 $G$ 不包含路径 $P_k$（含 $k$ 个顶点的路径）作为诱导子图，则该算法运行时间为 $n^{O(k^2 \log^3 n)}$。因此，对任意固定的 $k$，我们的算法在拟多项式时间内运行。这肯定地解决了 [Thomassé, SODA'20 特邀报告] 的一个开放问题。此前，多项式时间算法仅已知用于 $P_4$-自由图 [Corneil et al., DAM'81]、$P_5$-自由图 [Lokshtanov et al., SODA'14] 和 $P_6$-自由图 [Grzesik et al., SODA'19]。对于更大的 $t$，仅已知 $2^{O(\sqrt{kn\log n})}$ 时间算法 [Bascó et al., Algorithmica'19] 和拟多项式时间近似方案 [Chudnovsky et al., SODA'20]。因此，我们的工作是首个提供确凿证据，表明 $P_k$-自由图上的独立集对任意整数 $k$ 均非 NP 完全问题。此外我们证明，对任意图 $H$，若对 $H$ 的每个连通分支 $C$ 均存在 $C$-自由图上独立集的拟多项式时间算法，则也存在 $H$-自由图上独立集的拟多项式时间算法。这将我们的拟多项式时间算法提升适用于 $T_k$-自由图，其中 $T_k$ 有一个分支为 $P_k$，另有 $k-1$ 个分支同构于叉形图（具有一个 3 度顶点的唯一 5 顶点树）。