$P_t$-自由图中极小分隔集与潜在极大团的覆盖

Andrzej Grzesik; Tereza Klimošová; Marcin Pilipczuk; Michał Pilipczuk

$P_t$-自由图中极小分隔集与潜在极大团的覆盖

离散数学 2020-03-30 v1 组合数学

作者: Andrzej Grzesik , Tereza Klimošová , Marcin Pilipczuk , Michał Pilipczuk

摘要

若图不包含 $t$ 个顶点的路作为诱导子图，则称其为 $P_t$ -自由的。虽然 $P_4$ -自由图恰好是补图，但 $t \geq 5$ 时 $P_t$ -自由图的结构仍鲜为人知。一方面，诸如最大权独立集 (MWIS) 和 $3$ -染色等经典计算问题，对任意固定的 $t$ 均不知其在 $P_t$ -自由图上是否为 NP-难的。另一方面，尽管付出巨大努力， $P_6$ -自由图上 MWIS 的多项式时间算法~[SODA 2019] 与 $P_7$ -自由图上 $3$ -染色的多项式时间算法~[Combinatorica 2018] 直至近期才被发现。两种情形下，算法都依赖于对所考虑图类的深层结构洞察。在 $P_5$ -自由图~[SODA 2014] 与 $P_6$ -自由图~[SODA 2019] 的 MWIS 算法中，主要工具之一是所谓的分隔集覆盖引理，其断言图中每个极小分隔集可被常数个顶点的邻域之并覆盖。本文指出该结论可推广至 $P_7$ -自由图，而在 $P_8$ -自由图中不成立。我们还讨论了用邻域之并覆盖潜在极大团的类似结论。

关键词

$P_t$-自由图极小分隔集潜在极大团分隔集覆盖引理图算法图结构理论

引用

@article{arxiv.2003.12345,
  title  = {Covering minimal separators and potential maximal cliques in $P_t$-free graphs},
  author = {Andrzej Grzesik and Tereza Klimošová and Marcin Pilipczuk and Michał Pilipczuk},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2003.12345},
  year   = {2020}
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$P_t$-自由图中极小分隔集与潜在极大团的覆盖

摘要

关键词

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