独立集加权计数的指数时间复杂度
计算复杂性
2015-05-19 v2 统计力学
摘要
我们考虑使用有理权重x对独立集进行加权计数：给定一个具有n个顶点的图，计算其独立集，使得每个大小为k的集贡献x^k。这等价于计算具有硬核自排斥和硬核对相互作用的晶格气体的配分函数。我们展示以下条件性下界：如果对n个变量的3-CNF公式的满足赋值进行计数（#3SAT）需要时间2^{\Omega(n)}（即存在c>0使得没有算法能在时间2^{cn}内解决#3SAT），那么对n顶点图中大小为n/3的独立集进行计数需要时间2^{\Omega(n)}，并且对所有有理权重x\neq 0，独立集的加权计数需要时间2^{\Omega(n/\log^3 n)}。我们有两个技术要素：第一个是从3SAT到独立集的归约，该归约保持解的数量，并且仅将实例大小增加一个常数因子。其次，我们设计了一种顶点克隆和路径添加的组合。这种图变换使我们能够适应Dell、Husfeldt和Wahlen最近的一项技术，该技术通过一系列归约实现插值，每个归约仅将实例大小增加多对数级别。
引用
@article{arxiv.1007.1146,
title = {Exponential Time Complexity of Weighted Counting of Independent Sets},
author = {Christian Hoffmann},
journal= {arXiv preprint arXiv:1007.1146},
year = {2015}
}
备注
Introduction revised, differences between versions of counting independent sets stated more precisely, minor improvements. 14 pages