关于在次线性时间内近似 k-团数量的研究
数据结构与算法
2018-03-14 v2
摘要
我们研究在给定图查询访问的情况下近似图中 k-团数量的问题。我们考虑一般图的标准查询模型，包括（1）度查询，（2）邻居查询和（3）对查询。设 n 为图中顶点数，m 为边数，C_k 为 k-团数量。我们设计了一个算法，输出 C_k 的 (1+ε)-近似（高概率下），其期望查询复杂度和运行时间为 O((n/C_k^{1/k} + m^{k/2}/C_k) poly(log n, 1/ε, k))。因此，当 C_k = ω(m^{k/2-1}) 时，算法复杂度相对于图规模是次线性的。此外，我们证明了一个下界，表明我们算法的查询复杂度在本质上是最优的（最多相差 log n、1/ε 和 k 的因子）。此方向的先前结果包括 Feige (SICOMP 06) 和 Goldreich 与 Ron (RSA 08) 的边计数 (k=2)，以及 Eden 等人 (FOCS 2015) 的三角形计数 (k=3)。我们的结果与这些复杂度相匹配。Eden 等人的先前结果依赖于一种仅适用于三角形计数的摊还技术，无法推广到更大的团。我们通过设计一个过程，以近似相等的概率采样与给定顶点集 S 关联的每个 k-团，获得了一个适用于任意 k≥3 的通用算法。主要困难在于找到仅与高度顶点关联的团，因为在邻居中随机采样的成功概率很低。这通过一个采样均匀随机高度顶点的算法，以及在估计仅与高度顶点关联的团和包含低度顶点的团之间进行仔细权衡来实现。
引用
@article{arxiv.1707.04858,
title = {On Approximating the Number of $k$-cliques in Sublinear Time},
author = {Talya Eden and Dana Ron and C. Seshadhri},
journal= {arXiv preprint arXiv:1707.04858},
year = {2018}
}