在近乎线性时间内发现大小为 $\sqrt{N/e}$ 的隐藏团

考虑一个 Erd\"os-Renyi 随机图，其中每条边以概率 1/2 独立出现，除了顶点的一个子集 $\sC_N$ 构成一个团（即完全连通子图）。我们研究在给定此类随机图的一个实现时识别该团的问题。已知最好的算法在高概率下以线性时间找到团，前提是 $|\sC_N|\ge 1.261\sqrt{N}$ \cite{dekel2011finding}。谱方法已被证明在团小于 $\sqrt{N}$ 时会失效。在本文中，我们描述了一种近乎线性时间的算法，该算法对于任意 $\eps>0$，当 $|\sC_N|\ge (1+\eps)\sqrt{N/e}$ 时能以高概率成功。这是首个被证明优于谱方法的算法。我们进一步将隐藏团问题推广到其他背景图（标准情况对应于 $N$ 个顶点上的完全图）。对于度数为 $(\Delta+1)$ 的大围长正则图，我们证明了若 $|\sC_N|\ge (1+\eps)N/\sqrt{e\Delta}$ 则“局部”算法成功，而若 $|\sC_N|\le(1-\eps)N/\sqrt{e\Delta}$ 则失败。