迈向最优输出敏感团列举：或从较小团列举团

我们研究在图中寻找并列举 $k$-团的问题，其中常数 $k\geq 3$，这是一个兼具理论与实际重要性的基本问题。我们的主要贡献是针对任意 $k\geq 3$ 的图列举 $k$-团的一种新的输出敏感算法，以及基于标准细粒度假设的下界，表明我们算法的运行时间是紧的。此前，唯一已知的条件最优输出敏感算法是由 Björklund、Pagh、Vassilevska W. 和 Zwick [ICALP'14] 针对 $3$-团情形给出的。子图同构或列举问题的典型输入以节点数 $n$ 或边数 $m$ 来衡量。我们的框架非常通用，它给出了 $k$-团列举算法，其运行时间以图中任意 $1\leq \ell<k$ 的 $\ell$-团数 $\Delta_\ell$ 来度量。这推广了以 $n$（1-团数）和 $m$（2-团数）度量的典型参数化。若矩阵乘法指数 $\omega$ 为 $2$，且若输出大小 $\Delta_k$ 足够大，则对每个 $\ell<k$，我们列举 $k$-团的算法运行时间为 $$\tilde{O}\left(\Delta_\ell^{\frac{2}{\ell (k - \ell)}}\Delta_k^{1-\frac{2}{k(k-\ell)}}\right).$$ 对于足够大的 $\Delta_k$，我们证明在 Exact $k$-Clique 假设下，该运行时间对所有 $1 \leq \ell < k$ 实际上是最优的。在 $k = 4$ 和 $5$ 的特殊情形中，若 $\omega = 2$，我们的算法以 $n$ 度量的运行时间对所有 $\Delta_k$ 值都是条件最优的。此外，我们的框架足够强大，能够改进 19 年前作为 $m$ 边图函数给出的 $4$ 和 $5$-团检测的运行时 [Eisenbrand and Grandoni, TCS'04]。