基于最差情况最优搜索空间的有效 defective clique 枚举与搜索

$k$ -defective clique是传统clique定义的一种放宽，允许最多$k$个缺失边。这种放宽在链接预测、社区检测和社交网络分析等众多现实应用中至关重要。尽管枚举最大$k$ -defective clique和搜索最大$k$ -defective clique的问题已广泛研究，但现有算法存在诸多局限，如小部分解的组合爆炸和次优搜索空间。为此，我们提出一种新的clique-first分支定界框架，先生成clique，然后再添加缺失边。进而，我们引入一种新的枢轴技术，实现了搜索空间大小为$\mathcal{O}(3^{\frac{n}{3}} \cdot n^k)$，其中$n$为输入图的顶点数。我们证明，当$k$为常数时，最大$k$ -defective clique的 worst-case 数量为$\Omega(3^{\frac{n}{3}} \cdot n^k)$，从而确立了本算法搜索空间的最差情况最优性。利用defective clique的直径为2的性质，我们进一步将搜索空间大小缩小至$\mathcal{O}(n \cdot 3^{\frac{\delta}{3}} \cdot (\delta \Delta)^k)$，其中$\delta$为输入图的退化度，$\Delta$为最大度。我们还基于我们的分支定界框架提出了一种高效的最大$k$ -defective clique搜索方法，同时引入实用技巧以缩小搜索空间。在拥有超过100万条边的真实世界基准数据集上实验表明，我们提出的每个算法在最大$k$ -defective clique枚举和最大$k$ -defective clique搜索方面，均在处理时间上比各自现有的state-of-the-art算法快了最高可达四个数量级。