计数小诱导子图：基于傅里叶分析的硬性下界

对于固定的图性质 $\Phi$ 和整数 $k \geq 1$，考虑计算输入图 $G$ 中满足 $\Phi$ 的诱导 $k$ 顶点子图的计数问题。该问题可通过暴力方法在时间 $O(n^{k})$ 下解决。根据指数逼近假设（ETH），我们对该运行时间的最优指数给出若干下界：若 $\Phi$ 为边单调（即在删除边后保持不变），则 ETH 否定 $n^{o(k)}$ 的算法。这是对 D"{o}ring、Marx 和 Wellnitz [STOC 2024] 最近下界的强化。我们的结果也适用于模固定素数计数。若至多 $(2-\varepsilon)^{\binom{k}{2}}$ 个 $k$ 顶点图满足 $\Phi$，其中 $\varepsilon > 0$，则 ETH 也否定指数为 $o(k)$ 的算法。即使在图在 $\Phi$ 中具有任意单个权重的情况下，该结论也成立，拓展了 Focke 和 Roth [SIAM J. Comput. 2024] 对 hereditary 属性的先前结果。如果 $\Phi$ 为非平凡且排除 $\beta_\Phi$ 边密度，则在 ETH 下的最优指数为 $\Omega(\beta_\Phi)$。即使在图在 $\Phi$ 中具有任意单个权重的情况下，该结论也成立，拓展了 Roth、Schmitt 和 Wellnitz [SIAM J. Comput. 2024] 的先前结果。在所有情况下，我们也获得了当 $k$ 作为输入参数化时，$\mathsf{\#W[1]}$ 的硬性。我们也获得了 Weisfeiler-Leman 维数的下界。与之前基于组合学、群论和单纯形拓扑的非平凡技术不同，我们的结果源于对问题进行代数化处理（以多项式形式），结合简单代数事实的应用，这也可以解释为傅里叶分析。