关于边缘子划分到 H-自由图的复杂度

对图的边缘进行子划分用一个新顶点将其替换为路径 u w v。对于图 H，\textsc{H-免子划分} 问题询问给定图 G 和整数 k，是否可以通过最多 k 次边缘子划分消除 G 中所有诱导 H 子图。我们表明，当 H 的每个组成部分都是细分星或细分双星，且至多一个组成部分是细分双星时，该问题是多项式时间可解的。另一方面，我们证明 \textsc{H-免子划分} 是 NP-完整的，并且在 H 满足以下任一条件时，假设指数时间假设，无法在 2^{o(k)} n^{O(1)} -time 算法中求解：\begin{itemize} \item H 的最小度为 2，且每个度为 2 的顶点的邻域诱导 K_2； \item H 中度为 3 或更大的顶点诱导至少两条边的图； \item H 有一个两个度为 3 或更大的顶点的三角形； \item H 包含作为诱导子图，由两个互斥的三角形通过添加一条边得到的图； \item H 包含恰好一个三角形； \item H 的 girth 至少为 4； \item H 是一个树，恰好有两个度为 3 或更大的顶点在距离 2 或至少 4 的地方。 \end{itemize} 一个简单的有界搜索树算法以 2^{O(k)} n^{O(1)} 时间复杂度运行。因此，对于上述所有 hardness 情况，这种运行时间在 ETH 下基本是最优的。