关于 $\mathcal{H}$-free 边删除的多项式核化

对于图集合 $\mathcal{H}$，\textsc{$\mathcal{H}$-free Edge Deletion} 问题询问在输入图中是否存在最多 $k$ 条边，其删除结果是一个不包含任何 $H\in\mathcal{H}$ 的诱导副本的图。在 \cite{cai1996fixed} 中表明，如果 $\mathcal{H}$ 是有限基数，则该问题是固定参数可处理的。然而，在 \cite{cai2013incompressibility} 中证明，如果 $\mathcal{H}$ 是包含 $H$ 的单元素集，对于一大类 $H$，除非 $coNP\subseteq NP/poly$，否则不存在多项式核。在本文中，对于任何固定的有限连通图集合 $\mathcal{H}$ 且当输入图具有有界度时，我们提出了该问题的多项式核。我们注意到，存在一些 \textsc{$\mathcal{H}$-free Edge Deletion} 问题，即使对于有界度输入图仍然是 NP-完全的，例如 \textsc{Triangle-free Edge Deletion}\cite{brugmann2009generating} 和 \textsc{Custer Edge Deletion($P_3$-free Edge Deletion)}\cite{komusiewicz2011alternative}。当 $\mathcal{H}$ 包含 $K_{1,s}$ 时，我们获得了更强的结果——针对 $K_t$-free 输入图（对于任何固定的 $t> 2$）的多项式核。我们注意到，对于 $s>9$，一般图的 \textsc{$K_{1,s}$-free Edge Deletion} 存在不可压缩性结果 \cite{cai2012polynomial}。我们的结果为 \textsc{Claw-free Edge Deletion} 和 \textsc{Line Edge Deletion} 提供了首个多项式核，针对 $K_t$-free 输入图，即使对于 $K_4$-free 图这些也是 NP-完全的 \cite{yannakakis1981edge}，并且在 \cite{cai2013incompressibility,open2013worker} 中被列为开放问题。