计数诱导子图：一种面向 #W[1]-困难性的拓扑方法

我们研究问题 $\#\mathsf{IndSub}(\Phi)$，即在图 $G$ 中计数满足给定性质 $\Phi$ 的大小为 $k$ 的所有诱导子图。这延续了 Jerrum 和 Meeks 的工作，他们证明了对于某些性质族（包括（不）连通性 [JCSS 15] 以及边数为偶或奇 [Combinatorica 17]）该问题是 $\#\mathrm{W[1]}$-困难的。利用 Curticapean、Dell 和 Marx 最近的图基序参数框架 [STOC 17]，我们发现对于单调性质 $\Phi$，若 $\Phi$ 的关联单纯（图）复形的约化欧拉特征非零，则问题 $\#\mathsf{IndSub}(\Phi)$ 对 $\#\mathrm{W[1]}$ 是困难的。这一观察将 $\#\mathsf{IndSub}(\Phi)$ 与 Karp 著名的逃避猜想联系起来，因为已知每个具有非零约化欧拉特征的图复形都是逃避的。应用 Khan、Saks 和 Sturtevant 开创性论文 [FOCS 83] 中引入的“逃避性的拓扑方法”工具，我们证明了 $\#\mathsf{IndSub}(\Phi)$ 对每一个不在哈密顿圈上成立的单调性质 $\Phi$ 是 $\#\mathrm{W[1]}$-困难的，也对某些在哈密顿圈上成立的单调性质（如无三角形或对 $k > 2$ 不是 $k$-边连通）是困难的。此外，我们证明对于这些性质，$\#\mathsf{IndSub}(\Phi)$ 不能在时间 $f(k)\cdot n^{o(k)}$ 内求解（对任意可计算函数 $f$），除非指数时间假设（ETH）不成立。在论文的最后部分，我们研究非单调性质，并证明若 $\Phi$ 是关于某素数 $q$ 的边数的任意非平凡模约束，或若 $\Phi$ 强制存在固定的孤立子图，则 $\#\mathsf{IndSub}(\Phi)$ 是 $\#\mathrm{W[1]}$-困难的。