均匀采样的应用：最稠密子图及其拓展

最近[Bhattacharya等人, STOC 2015]提出了首个非平凡算法，用于解决在边有添加和删除的流模型（即动态图流）中的最稠密子图问题。他们提出了一种使用$\tilde{O}(n)$空间的$(0.5-\epsilon)$-近似算法，其中$\tilde{O}$记号隐藏了$\epsilon$和$\log(n)$的因子。然而，该算法的更新时间较大。为弥补这一点，他们还提供了一种使用$\tilde{O}(n)$空间、更新时间为$\tilde{O}(1)$的$(0.25-\epsilon)$-近似算法。在本文中，我们改进了Bhattacharya等人的算法，给出了一种使用$\tilde{O}(n)$空间的$(1-\epsilon)$-近似算法。我们的算法概念上简单——它均匀随机采样$\tilde{O}(n)$条边，并在采样图上找到最稠密子图。我们还展示了如何以$\tilde{O}(1)$的更新时间执行该采样。此外，我们表明，给定对边集的预言机访问，我们可以在标准RAM模型上以$\tilde{O}(n)$时间实现我们的算法。据我们所知，在给定此类预言机访问的RAM模型中，这是最稠密子图问题最快的$(0.5-\epsilon)$-近似算法。进一步，我们将结果扩展到了一类我们称之为重子图问题（heavy subgraph problems）的通用图优化问题。该类包含许多有趣的问题，如最稠密子图、有向最稠密子图、最稠密二分子图、$d$-割和$d$-重连通分量。我们的结果通过刻画重子图问题，部分解决了2006年IITK数据流算法研讨会上关于子采样在此背景下影响的开放问题13。