基于Gershgorin圆盘对齐的高效有向图采样

图采样是通过采样矩阵 $\mathbf{H} \in \{0,1\}^{K \times N}$ 选择节点子集以收集样本 $\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} \in \mathbb{R}^K$，$K < N$，从而能够高保真地重建目标信号 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ 的问题。虽然无向图上的采样已得到充分研究，但我们利用先前基于Gershgorin圆盘对齐（GDAS）的无向图采样方法，提出了首个专门针对有向图的采样方案。具体而言，给定一个由随机游走图拉普拉斯矩阵 $\mathbf{L}_{rw}$ 指定的有向正图 $\mathcal{G}^d$，我们首先使用图平移变差（GSV）$\|\mathbf{L}_{rw} \mathbf{x}\|^2_2$ 作为信号先验，定义从样本 $\mathbf{y}$ 重建平滑信号 $\mathbf{x}^*$ 的过程。为了最小化具有对称系数矩阵 $\mathbf{C} = \mathbf{H}^\top \mathbf{H} + \mu \mathbf{L}_{rw}^\top \mathbf{L}_{rw}$ 的线性系统解 $\mathbf{x}^* = \mathbf{C}^{-1} \mathbf{H}^\top \mathbf{y}$ 的最坏情况重建误差，采样目标是选择 $\mathbf{H}$ 以最大化 $\mathbf{C}$ 的最小特征值 $\lambda_{\min}(\mathbf{C})$。为了完全避免特征分解，我们转而通过基于Gershgorin圆盘定理（GCT）的GDAS变体，最大化 $\lambda_{\min}(\mathbf{C})$ 的一个下界 $\lambda^-_{\min}(\mathbf{S}\mathbf{C}\mathbf{S}^{-1})$——即 $\mathbf{C}$ 的相似变换的最小Gershgorin圆盘左端点。实验结果表明，与竞争方案相比，我们的采样方法以更快的速度产生了更小的信号重建误差。