基于盖尔什戈林圆盘对齐的快速图采样集选择

图采样集选择——选取节点子集收集样本以重建平滑图信号——是图信号处理(GSP)中的基本问题。以往工作采用无偏最小二乘(LS)信号重建方案,并通过昂贵的极端特征向量计算来选取样本。相反,我们假设一种基于有偏图拉普拉斯正则化(GLR)的方案,通过求解线性方程组进行重建。随后我们选取样本以最小化系数矩阵的条件数——具体为最大化最小特征值$\lambda_{\min}$。为避免显式特征值计算,我们转而最大化$\lambda_{\min}$的下界,即矩阵所有盖尔什戈林圆盘的最小左端点。为高效实现,我们首先将优化转化为对偶问题:最小化使所有盖尔什戈林圆盘左端点对齐到选定下界目标$T$所需样本数。代数上,该对偶问题等价于优化两种圆盘操作:i)由采样引起的圆盘中心偏移,以及ii)由矩阵相似变换引起的圆盘半径缩放。我们进一步将对偶问题重新解释为直观的圆盘覆盖问题,其与著名的NP难集合覆盖(SC)问题高度相似。这一重新解释使我们能基于已知的SC误差有界近似算法导出快速近似方案。我们通过二分搜索高效找到合适的目标$T$。大量仿真实验表明,我们的基于圆盘采样算法比现有采样方案运行快得多,且在重建误差上优于其他无特征分解的采样方案。