基于盖尔什戈林圆盘完美对齐的免投影图基分类器学习

在半监督图基二分类器学习中，假设标签信号 $\mathbf{x}$ 相对于由拉普拉斯矩阵给定的相似图是平滑的，利用已知标签子集 $\hat{x}_i$ 推断未知标签。当限制标签 $x_i$ 为二值时，该问题是 NP 难的。虽然常规半定规划松弛（SDR）可使用例如交替方向乘子法（ADMM）在多项式时间内求解，但每次迭代将候选矩阵 $\mathbf{M}$ 投影到正半定（PSD）锥（$\mathbf{M} \succeq 0$）的复杂度仍然很高。本文利用称为盖尔什戈林圆盘完美对齐（GDPA）的近期线性代数理论，提出一种快速的免投影方法，转而求解一系列线性规划（LP）。具体而言，我们首先将 SDR 改写为其对偶，其中可行解 $\mathbf{H} \succeq 0$ 被解释为对应于去掉最后一节点的平衡带符号图的拉普拉斯矩阵。为实现图平衡，我们将最后一节点拆分为两个，各自保留原有的正/负边，得到新的拉普拉斯矩阵 $\bar{\mathbf{H}}$。我们重构 SDR 对偶以求解 $\bar{\mathbf{H}}$，然后将 PSD 锥约束 $\bar{\mathbf{H}} \succeq 0$ 替换为源自 GDPA 的线性约束——确保 $\bar{\mathbf{H}}$ 为 PSD 的充分条件——使得优化在每次迭代中成为 LP。最后，我们从收敛解 $\bar{\mathbf{H}}$ 中提取预测标签。实验表明，我们的算法在保持可比标签预测性能的同时，相比次快方案实现了 $28\times$ 加速。