通过 Gershgorin 圆盘完美对齐的带符号图度量学习

给定正定（PD）锥中实对称矩阵 $\M$ 的凸可微目标 $Q(\M)$——用于计算马氏距离——我们提出一个完全无投影的快速通用度量学习框架。我们首先假设 $\M$ 位于对应平衡带符号图的广义图拉普拉斯矩阵空间 $\cS$ 中。既属于 $\cS$ 又正定的 $\M$ 称为图度量矩阵。与文献中常见的低秩度量矩阵不同，$\cS$ 将重要的仅对角矩阵作为特例包含在内。规避完全特征分解并实现快速度量矩阵优化的关键定理是 Gershgorin 圆盘完美对齐（GDPA）：给定 $\M \in \cS$ 和对角矩阵 $\S$，其中 $S_{ii} = 1/v_i$ 且 \v 为 $\M$ 的第一特征向量，我们证明相似变换 $\B = \S \M \S^{-1}$ 的 Gershgorin 圆盘左端在最小特征值 $\lambda_{\min}$ 处完美对齐。利用该定理，我们将度量学习问题中的 PD 锥约束替换为每次迭代最紧的线性约束，从而 $\M$ 中对角/非对角项的交替优化可作为线性规划通过 Frank-Wolfe 方法高效求解。我们使用带热启动的局部最优块预条件共轭梯度（LOBPCG）更新 \v，因为 $\M$ 中的条目被依次优化。实验表明，我们的图度量优化比锥投影方案显著更快，并产生有竞争力的二分类性能。