具有对称性图的公平分解的扩展与应用

我们推广了公平分解理论，其中，如果一个图具有特定类型的对称性，即一致或基本自同构 $\phi$，则可以利用 $\phi$ 来适当地分解与图相关联的矩阵 $M$。结果得到若干严格更小的矩阵，它们的集体特征值与原矩阵 $M$ 的特征值相同。我们在此证明，一大类我们称之为\emph{可分离}的自同构可以实现为基本自同构的序列，从而允许我们在任意此类自同构上对 $M$ 进行公平分解。我们还证明，不仅矩阵 $M$ 可以被分解，而且 $M$ 的特征向量也可以被公平分解。此外，我们在温和条件下证明，如果矩阵 $M$ 被公平分解，则所得的除矩阵（即相关联公平划分的除矩阵）将具有与原矩阵 $M$ 相同的谱半径。最后，我们描述了公平分解如何影响矩阵 $M$ 的 Gershgorin 区域 $\Gamma(M)$，该区域可用于定位 $M$ 的特征值。我们证明 $M$ 的公平分解的 Gershgorin 区域包含于原矩阵 $M$ 的 Gershgorin 区域 $\Gamma(M)$ 中。我们在一个真实世界的网络上证明，通过一系列公平分解，可以显著减小矩阵的 Gershgorin 区域大小。